02 7. 로그는 원래의 ‘거리’ 계산 툴 지수 그 2) 거리는 음수가 없고 실수의 0 제곱은 1이다.
[김선생님s’ 수학클리닉] = 로그(log)와 지수법칙은 분리할 수 없는 관계를 갖고 있으나, 많은 학생들이 지수법칙을 제대로 이해하지 못하고 있어 로그(log)도 곤란하다.
- 대수 천문학 항해술 등 대규모 숫자 계산에 활용 고교 과정에서 대수는 천문학 항해술 등의 거리(숫자의 크기가 대단했다) 계산을 쉽게 하기 위한 정도로 생각하면 큰 무리가 아닐 것이다. 그 연원은 컴퓨터와 계산기가 없던 17세기에 네이피아가 고안(또는 발견한)해 복잡한 계산(특히 곱셈)에 위력을 발휘했다.
- ②로그의 장점은 곱셈을 덧셈으로 바꿔 계산한다는 것이다. 계산기가 있는 현대와 달리 1718세기에 여섯 자리 이상의 숫자 단위를 두세 번 곱하면 대부분의 수학자는 피곤하기 십상이었다.
- 123456×4567890———???????????
- ③지구의 공전궤도를 발견해 케플러 법칙을 수립한 케플러의 스승 타코 브라헤가 바로 삼각함수를 활용해 복잡한 계산을 쉽게 해내던 수재 중의 하나였다. 천문학자 타코 브라헤가 지구와 태양과의 거리, 지구와 달과의 거리, 지구와 화성과의 거리를 계산하느라 고생했던 일을 상상하면서 즐거운 마음으로 로그의 기본만이라도 학습해 보자.
2) 로그 아래는 0보다 큰 1이 아닌 수 ① 우선 로그의 정의를 살펴보면,
라고 대부분의 교과서와 참고 자료는 소개한다. 여기서 한 가지를 더 덧붙이자면 한 번 밑에 깔린 수(a)는 특별한 경우가 아니면 항상 밑에서 벗어날 수 없다. a,b,는 모두 양수여야 한다. 단 a는 1이 될 수 없다 x는 틀리면 다 된다
②일단 정의로부터, 로그는 지수의 또 하나의 표현 방법인 것을 알 수 있다. 또 원래 거리 계산을 위한 도구라는 것도 설명했다.따라서 아래에 깔리는 수 ‘a’는 0보다 작을 수는 없다(거리이므로). 0이면 의미가 없다(거리가 0이면~). 심지어 소수점 크기(0.1)라도 상관없다(역시 거리의 크기이므로).
③그러나 1은 수학적으로 큰 의미가 없다. 1은 어떠한 제곱을 해도 1이 된다. 심지어 1에는 0제적을 해도 1이 된다(지수법칙으로 설명했다. 014. 참조.
④정수를 제곱(홀수번이건 짝수번이건)하면 그 연산결과는 당연하지만 정수이기 때문에 진수의 b는 0보다 크다.
⑤이 설명에는 로그는 실수의 범위에서만 성립하는 것을 전제로 하고 있다. 실수는 수직선상에 존재하는 수이므로 무리해도 무방하다. 또한 수직선 두 개를 교차하여 만든 좌표 평면에도 존재하므로 각종 함수와 그래프로 나타낼 수도 있다.
3) 대수 밑과 진수 조건에 대한 잔소리 수준의 설명이 나의 구체적 숫자이고, 아래의 “a”와 진수 “b”에 대해 조건(a=1, 1, a>0, 진수 b>0)에 반하는 경우를 가정해 보자. 원래 로그는 지수법칙에서 나온 것이므로 지수법칙과 관련해 생각해 보자.
①1은 셀 수 없을 정도로 겹쳐 제곱해도 항상 1이 되므로, x를 만족하는 나이가 무수히 많다는 것을 알 수 있다.
②1은 그 어떠한 수를 평방해도 1이므로 x를 만족하는 해는 없다( , , 정답)는 없다(불능). 따라서 수학적으로 무의미하다.
③원래 지수법칙에서 x는 실수이기 때문에 양의 정수 ‘2’에 어떤 실수를 곱해도 절대 0보다 작아질 수 없다.따라서, 상기의 식 좌변과 우변은 모두 수학적으로 정의되어 있지 않은 것(무의미)이다.
④더 가.
등도 원래의 로그가 나오도록 한 지수법칙과 관련해 생각하면 모두 무의미하다.
와 같은 성립조건은 (x-2)가 0이 아니면 (전체를 제곱하므로) x 나누÷2일 뿐으로 성립한다.
⑤그러면 a=10,x=-2, b=0.01 의 경우를 살펴 보자.
위와 같이 성립한다.
예제로 확인해 보자.